Школьный этап ВОШ 4-11 класс Математика 2025-2026 город Москва (77 регион) ответы и задания 14.10.2025
Школьный этап ВОШ 4-11 класс Математика 2025-2026 город Москва (77 регион) ответы и задания 14.10.2025
Коротко о ВсОШ по математике (Всероссийская олимпиада школьников)
- Что это: государственная олимпиада по математике для школьников 5–11 классов. Официальный статус, единый регламент.
- Этапы и сроки: школьный (сентябрь–октябрь), муниципальный (ноябрь–декабрь), региональный (январь–февраль), заключительный (март–апрель). Даты ежегодно утверждаются.
- Формат: письменный тур, 4–6 задач на доказательство, 3–5 часов. Калькуляторы обычно запрещены.
- Темы: комбинаторика, теория чисел, геометрия, алгебра, функциональные уравнения, неравенства, инварианты.
- Льготы: победители и призеры заключительного этапа получают преимущества при поступлении в вузы (БВИ или 100 баллов по правилам вуза). На региональном этапе — статус призера/победителя и региональные поощрения.
- Как участвовать: школьный этап через школу, дальше — по проходным результатам. Информация у школьного координатора и на сайте регионального Минобра.
Ответы и задания будут доступны тут в 8-00 по местному времени 10 сентября.
7 класс, вариант 1
1. На спортивных соревнованиях по энерджиболу матч длится 60 минут, а на поле одновременно
присутствуют 5 игроков. В составе команды «Альфа» 8 игроков. Тренер команды хочет, чтобы все
игроки провели на поле одинаковое количество времени. Сколько времени каждый игрок должен
провести на поле, если количество замен не ограничено?
2. Площадь квадрата, изображённого на рисунке, равна 320 см³. Точка O — центр квадрата, а точка M —
середина его стороны. Чему равна площадь серой части?
3. На карте точками обозначены города, а линиями — дороги. Какое наименьшее число дорог нужно
добавить, чтобы из городов выходило поровну дорог?
4. На острове рыцарей и лжецов, где рыцари всегда говорят правду, а лжецы — лгут, встретились
четыре жителя — Антон, Иван, Пётр и Богдан. Иван сказал: «Богдан — лжец!». Богдан сказал: «Пётр
— рыцарь!». Пётр сказал: «Я знаю точно, что в паре Ивана и Антона один человек рыцарь, а другой
лжец». Антон сказал: «Иван — лжец!». Кем является каждый из собеседников?
5. Саша составляет список из 100 чисел по следующему правилу: первое число в списке равно 2028,
второе число равно 1, каждое следующее получается так: из последнего записанного числа
вычитается предпоследнее и прибавляется 5. Например, третье число равно – 2022, потому что 1 -
2028 + 5 = -2022. Найдите сумму 100 первых чисел из списка Саши.
В тетрадь записаны последовательные целые числа от 1 до 110 ручками двух цветов: красной и
синей. Оказалось, что наибольшее число, записанное синим цветом, равно количеству чисел,
записанных синим цветом. А наименьшее число, записанное красным цветом, равно половине от
количества чисел, записанных красным цветом. Сколько чисел записано красным цветом?
Имеются пять одинаковых игральных кубиков. На их грани с помощью точек нанесены числа от 1 до 6.
Петя выложил кубики в ряд, как показано на рисунке. Используя цифры на верхних гранях слева
направо, он составил пятизначное число, произведение цифр которого оказалось кратно 8. Сколько
таких пятизначных чисел мог получить Петя, если самый левый кубик всегда лежит так, как показано
на рисунке, и обозначает старший разряд числа?
У Кати есть неограниченное количество одинаковых бумажных квадратов и фломастеры четырёх
цветов. Она может произвольным образом раскрасить стороны каждого из квадратов в четыре
разных цвета и склеить из них прямоугольник по следующему правилу: склеивать можно только края
одинакового цвета. При этом у полученного прямоугольника каждая сторона должна быть полностью
одного цвета и все его стороны должны быть разных цветов. Прямоугольник какого размера она
сможет получить, действуя таким образом? Выберите все подходящие варианты: ---
7 класс, вариант 2
1. На спортивных соревнованиях по энерджиболу матч длится 44 минуты, а на поле одновременно
присутствуют 5 игроков. В составе команды «Альфа» 8 игроков. Тренер команды хочет, чтобы все
игроки провели на поле одинаковое количество времени. Сколько времени каждый игрок должен
провести на поле, если количество замен не ограничено?
2.Площадь квадрата, изображённого на рисунке, равна 280 см². Точка O — центр квадрата, а точка M —
середина его стороны. Чему равна площадь серой части?
На карте точками обозначены города, а линиями — дороги. Какое наименьшее число дорог нужно
добавить, чтобы из городов выходило поровну дорог?
3.На острове рыцарей и лжецов, где рыцари всегда говорят правду, а лжецы — лгут, встретились
четыре жителя — Антон, Иван, Пётр и Богдан. Антон сказал: «Иван — лжец!». Иван сказал: «Пётр —
рыцарь!». Пётр сказал: «Я знаю точно, что в паре Богдана и Антона один человек рыцарь, а другой
лжец». Богдан сказал: «Антон — лжец!». Кем является каждый из собеседников?
4.Саша составляет список из 100 чисел по следующему правилу: первое число в списке равно 2027,
второе число равно 1, каждое следующее получается так: из последнего записанного числа
вычитается предпоследнее и прибавляется 5. Например, третье число равно – 2021, потому что 1 -
2027 + 5 = -2021. Найдите сумму 100 первых чисел из списка Саши.
5.В тетрадь записаны последовательные целые числа от 1 до 107 ручками двух цветов: красной и
синей. Оказалось, что наибольшее число, записанное синим цветом, равно количеству чисел,
записанных синим цветом. А наименьшее число, записанное красным цветом, равно половине от
количества чисел, записанных красным цветом. Сколько чисел записано красным цветом?
6.Имеются пять одинаковых игральных кубиков. На их грани с помощью точек нанесены числа от 1 до 6.
Петя выложил кубики в ряд, как показано на рисунке. Используя цифры на верхних гранях слева
направо, он составил пятизначное число, произведение цифр которого оказалось кратно 9. Сколько
таких пятизначных чисел мог получить Петя, если самый левый кубик всегда лежит так, как показано
на рисунке, и обозначает старший разряд числа?
7.У Кати есть неограниченное количество одинаковых бумажных квадратов и фломастеры четырёх
цветов. Она может произвольным образом раскрасить стороны каждого из квадратов в четыре
разных цвета и склеить из них прямоугольник по следующему правилу: склеивать можно только края
одинакового цвета. При этом у полученного прямоугольника каждая сторона должна быть полностью
одного цвета и все его стороны должны быть разных цветов. Прямоугольник какого размера она
сможет получить, действуя таким образом? Выберите все подходящие варианты: ---
7 класс, вариант 3
На спортивных соревнованиях по энерджиболу матч длится 68 минут, а на поле одновременно
присутствуют 5 игроков. В составе команды «Альфа» 8 игроков. Тренер команды хочет, чтобы все
игроки провели на поле одинаковое количество времени. Сколько времени каждый игрок должен
провести на поле, если количество замен не ограничено?
Площадь квадрата, изображённого на рисунке, равна 240 см². Точка O — центр квадрата, а точка M —
середина его стороны. Чему равна площадь серой части?
На карте точками обозначены города, а линиями — дороги. Какое наименьшее число дорог нужно
добавить, чтобы из городов выходило поровну дорог?
На острове рыцарей и лжецов, где рыцари всегда говорят правду, а лжецы — лгут, встретились
четыре жителя — Антон, Иван, Пётр и Богдан. Пётр сказал: «Антон — лжец!». Антон сказал: «Богдан
— рыцарь!». Богдан сказал: «Я знаю точно, что в паре Петра и Ивана один человек рыцарь, а другой
лжец». Иван сказал: «Пётр — лжец!». Кем является каждый из собеседников?
Саша составляет список из 100 чисел по следующему правилу: первое число в списке равно 2026,
второе число равно 1, каждое следующее получается так: из последнего записанного числа
вычитается предпоследнее и прибавляется 5. Например, третье число равно —2020, потому что 1 —
2026 + 5 = —2020. Найдите сумму 100 первых чисел из списка Саши.
В тетрадь записаны последовательные целые числа от 1 до 101 ручками двух цветов: красной и
синей. Оказалось, что наибольшее число, записанное синим цветом, равно количеству чисел,
записанных синим цветом. А наименьшее число, записанное красным цветом, равно половине от
количества чисел, записанных красным цветом. Сколько чисел записано красным цветом?
Имеются пять одинаковых игральных кубиков. На их грани с помощью точек нанесены числа от 1 до 6.
Петя выложил кубики в ряд, как показано на рисунке. Используя цифры на верхних гранях слева
направо, он составил пятизначное число, произведение цифр которого оказалось кратно 27. Сколько
таких пятизначных чисел мог получить Петя, если самый левый кубик всегда лежит так, как показано
на рисунке, и обозначает старший разряд числа?
У Кати есть неограниченное количество одинаковых бумажных квадратов и фломастеры четырёх
цветов. Она может произвольным образом раскрасить стороны каждого из квадратов в четыре
разных цвета и склеить из них прямоугольник по следующему правилу: склеивать можно только края
одинакового цвета. При этом у полученного прямоугольника каждая сторона должна быть полностью
одного цвета и все его стороны должны быть разных цветов. Прямоугольник какого размера она
сможет получить, действуя таким образом? Выберите все подходящие варианты: ---
7 класс, вариант 4
На спортивных соревнованиях по энерджиболу матч длится 52 минуты, а на поле одновременно
присутствуют 5 игроков. В составе команды «Альфа» 8 игроков. Тренер команды хочет, чтобы все
игроки провели на поле одинаковое количество времени. Сколько времени каждый игрок должен
провести на поле, если количество замен не ограничено?
Площадь квадрата, изображённого на рисунке, равна 200 см². Точка O — центр квадрата, а точка M —
середина его стороны. Чему равна площадь серой части?
На карте точками обозначены города, а линиями — дороги. Какое наименьшее число дорог нужно
добавить, чтобы из городов выходило поровну дорог?
На острове рыцарей и лжецов, где рыцари всегда говорят правду, а лжецы — лгут, встретились
четыре жителя — Антон, Иван, Пётр и Богдан. Богдан сказал: «Антон — лжец!». Антон сказал: «Иван
— рыцарь!». Иван сказал: «Я знаю точно, что в паре Богдана и Петра один человек рыцарь, а другой
лжец». Пётр сказал: «Богдан — лжец!». Кем является каждый из собеседников?
Саша составляет список из 100 чисел по следующему правилу: первое число в списке равно 2025,
второе число равно 1, каждое следующее получается так: из последнего записанного числа
вычитается предпоследнее и прибавляется 5. Например, третье число равно –2019, потому что 1 -
2025 + 5 = -2019. Найдите сумму 100 первых чисел из списка Саши.
В тетрадь записаны последовательные целые числа от 1 до 104 ручками двух цветов: красной и
синей. Оказалось, что наибольшее число, записанное синим цветом, равно количеству чисел,
записанных синим цветом. А наименьшее число, записанное красным цветом, равно половине от
количества чисел, записанных красным цветом. Сколько чисел записано красным цветом?
Имеются пять одинаковых игральных кубиков. На их грани с помощью точек нанесены числа от 1 до 6.
Петя выложил кубики в ряд, как показано на рисунке. Используя цифры на верхних гранях слева
направо, он составил пятизначное число, произведение цифр которого оказалось кратно 4. Сколько
таких пятизначных чисел мог получить Петя, если самый левый кубик всегда лежит так, как показано
на рисунке, и обозначает старший разряд числа?
У Кати есть неограниченное количество одинаковых бумажных квадратов и фломастеры четырёх
цветов. Она может произвольным образом раскрасить стороны каждого из квадратов в четыре
разных цвета и склеить из них прямоугольник по следующему правилу: склеивать можно только края
одинакового цвета. При этом у полученного прямоугольника каждая сторона должна быть полностью
одного цвета и все его стороны должны быть разных цветов. Прямоугольник какого размера она
сможет получить, действуя таким образом? Выберите все подходящие варианты: ---
8 класс, вариант 1
Однажды в солнечный день Аля пошла гулять на стадион, а Валя — в парк. Аля двигалась в два раза
быстрее подруги и прошла в пять раз большее расстояние, чем Валя. Прогулка Али заняла на 45 минут
больше, чем прогулка Вали. Сколько времени гуляла Аля? Ответ выразите в минутах.
На рисунке выберите несколько из отмеченных точек так, чтобы на каждой из шести прямых было
выбрано ненулевое чётное количество точек.
В треугольнике ABC угол B равен 152°, а высота, опущенная из вершины A, в два раза меньше
биссектрисы угла A. Найдите угол C. Ответ выразите в градусах.
Таблицу 5 × 5 разбили на 7 частей по линиям сетки так, чтобы клетки внутри одного фрагмента
граничили только по горизонтали или по вертикали. В каждой части в одной из клеток написали
количество клеток в этом фрагменте. Отметьте на изображении все клетки фрагмента, содержащего
выделенную зелёным клетку.
На физкультуре Аля, Беня, Веня, Геша и Дуся встали в одну колонну, причём некоторые встали лицом
вперёд, а некоторые — лицом назад. Человек видит всех людей перед собой в колонне в
направлении его взгляда. Известно, что: Дусь никто не видит; Беня не видит Гешу, но видит Веню;
Геша видит Беню, но не видит Алю; Веня не видит никого; Аля стоит раньше Вени, но не видит его.
Определите порядок, в котором стоят дети.
Вася задумал три вещественных числа a, b, c. Оказалось, что три прямые, заданные уравнениями y =
ax + 5, y = bx + 7 и y = cx + 9, пересекаются в одной точке. Найдите значение b, если известно, что a + c
= 39.
Дан прямоугольный треугольник ABC с прямым углом A. На плоскости нашлась точка X, для которой
AB = BX и AX = XC. Чему может быть равен угол BAX, если угол BXC равен 117°? Ответ выразите в
градусах. Укажите все подходящие варианты. Каждый ответ записывайте в отдельное поле, добавляя
их при необходимости.
В турнире онлайн-игры участвуют 256 персонажей. В каждом из 8 раундов персонажи разбиваются на
пары, сражаются между собой, победитель проходит дальше. Изначально уровни персонажей были
равны 1, 2, …, 256. В битве всегда побеждает персонаж с бо́льшим уровнем, а если уровни
одинаковы, может победить любой. После каждого тура уровень персонажа может измениться на 1 в
ту или иную сторону, а может остаться прежним. Персонаж с каким наименьшим стартовым уровнем
мог победить в турнире? ---
8 класс, вариант 2
Однажды в солнечный день Аля пошла гулять на стадион, а Валя — в парк. Аля двигалась в полтора
раза быстрее подруги и прошла в два раза большее расстояние, чем Валя. Прогулка Али заняла на 40
минут больше, чем прогулка Вали. Сколько времени гуляла Аля? Ответ выразите в минутах.
На рисунке выберите несколько из отмеченных точек так, чтобы на каждой из шести прямых было
выбрано ненулевое чётное количество точек.
В треугольнике ABC угол B равен 146°, а высота, опущенная из вершины A, в два раза меньше
биссектрисы угла A. Найдите угол C. Ответ выразите в градусах.
Таблицу 5 × 5 разбили на 7 частей по линиям сетки так, чтобы клетки внутри одного фрагмента
граничили только по горизонтали или по вертикали. В каждой части в одной из клеток написали
количество клеток в этом фрагменте. Отметьте на изображении все клетки фрагмента, содержащего
выделенную зелёным клетку.
На физкультуре Аля, Беня, Веня, Геша и Дуся встали в одну колонну, причём некоторые встали лицом
вперёд, а некоторые — лицом назад. Человек видит всех людей перед собой в колонне в
направлении его взгляда. Известно, что: Алю никто не видит; Геша не видит Дусь, но видит Беню;
Дуся видит Гешу, но не видит Веню; Беня не видит никого; Веня стоит раньше Бени, но не видит его.
Определите порядок, в котором стоят дети.
Вася задумал три вещественных числа a, b, c. Оказалось, что три прямые, заданные уравнениями y =
ax + 3, y = bx + 7 и y = cx + 11, пересекаются в одной точке. Найдите значение b, если известно, что a + c
= 51.
Дан прямоугольный треугольник ABC с прямым углом A. На плоскости нашлась точка X, для которой
AB = BX и AX = XC. Чему может быть равен угол BAX, если угол BXC равен 108°? Ответ выразите в
градусах. Укажите все подходящие варианты. Каждый ответ записывайте в отдельное поле, добавляя
их при необходимости.
В турнире онлайн-игры участвуют 64 персонажей. В каждом из 6 раундов персонажи разбиваются на
пары, сражаются между собой, победитель проходит дальше. Изначально уровни персонажей были
равны 1, 2, …, 64. В битве всегда побеждает персонаж с большим уровнем, а если уровни одинаковы,
может победить любой. После каждого тура уровень персонажа может измениться на 1 в ту или иную
сторону, а может остаться прежним. Персонаж с каким наименьшим стартовым уровнем мог
победить в турнире? ---
8 класс, 3 вариант
Однажды в солнечный день Аля пошла гулять на стадион, а Валя — в парк. Аля двигалась в два раза
быстрее подруги и прошла в полтора раза большее расстояние, чем Валя. Прогулка Али заняла на 35
минут меньше, чем прогулка Вали. Сколько времени гуляла Аля? Ответ выразите в минутах.
На рисунке выберите несколько из отмеченных точек так, чтобы на каждой из шести прямых было
выбрано ненулевое чётное количество точек.
На физкультуре Аля, Беня, Веня, Геша и Дуся встали в одну колонну, причём некоторые встали лицом
вперёд, а некоторые — лицом назад. Человек видит всех людей перед собой в колонне в
направлении его взгляда. Известно, что: Алю никто не видит; Беня не видит Веню, но видит Гешу;
Веня видит Беню, но не видит Дусю; Геша не видит никого; Дуся стоит раньше Геши, но не видит его.
Определите порядок, в котором стоят дети.
Вася задумал три вещественных числа a, b, c. Оказалось, что три прямые, заданные уравнениями y =
ax + 1, y = bx + 6 и y = cx + 11, пересекаются в одной точке. Найдите значение b, если известно, что a + c
= 73.
Дан прямоугольный треугольник ABC с прямым углом A. На плоскости нашлась точка X, для которой
AB = BX и AX = XC. Чему может быть равен угол BAX, если угол BXC равен 138°? Ответ выразите в
градусах. Укажите все подходящие варианты. Каждый ответ записывайте в отдельное поле, добавляя
их при необходимости.
В турнире онлайн-игры участвуют 512 персонажей. В каждом из 9 раундов персонажи разбиваются на
пары, сражаются между собой, победитель проходит дальше. Изначально уровни персонажей были
равны 1, 2, …, 512. В битве всегда побеждает персонаж с большим уровнем, а если уровни
одинаковы, может победить любой. После каждого тура уровень персонажа может измениться на 1 в
ту или иную сторону, а может остаться прежним. Персонаж с каким наименьшим стартовым уровнем
мог победить в турнире? ---
8 класс, вариант 4
Однажды в солнечный день Аля пошла гулять на стадион, а Валя — в парк. Аля двигалась в полтора
раза быстрее подруги и прошла в четыре раза большее расстояние, чем Валя. Прогулка Али заняла на
3 часа 20 минут больше, чем прогулка Вали. Сколько времени гуляла Аля? Ответ выразите в минутах.
На рисунке выберите несколько из отмеченных точек так, чтобы на каждой из шести прямых было
выбрано ненулевое чётное количество точек.
В треугольнике ABC угол B равен 142°, а высота, опущенная из вершины A, в два раза меньше
биссектрисы угла A. Найдите угол C. Ответ выразите в градусах.
Таблицу 5 × 5 разбили на 7 частей по линиям сетки так, чтобы клетки внутри одного фрагмента
граничили только по горизонтали или по вертикали. В каждой части в одной из клеток написали
количество клеток в этом фрагменте. Отметьте на изображении все клетки фрагмента, содержащего
выделенную зелёным клетку.
На физкультуре Аля, Беня, Веня, Геша и Дуся встали в одну колонну, причём некоторые встали лицом
вперёд, а некоторые — лицом назад. Человек видит всех людей перед собой в колонне в
направлении его взгляда. Известно, что: Веню никто не видит; Беня не видит Алю, но видит Дусю; Аля
видит Беню, но не видит Гешу; Дуся не видит никого; Геша стоит раньше Дуси, но не видит её.
Определите порядок, в котором стоят дети.
Вася задумал три вещественных числа a, b, c. Оказалось, что три прямые, заданные уравнениями y =
ax + 2, y = bx + 5 и y = cx + 8, пересекаются в одной точке. Найдите значение b, если известно, что a + c
= 67.
Дан прямоугольный треугольник ABC с прямым углом A. На плоскости нашлась точка X, для которой
AB = BX и AX = XC. Чему может быть равен угол BAX, если угол BXC равен 123°? Ответ выразите в
градусах. Укажите все подходящие варианты. Каждый ответ записывайте в отдельное поле, добавляя
их при необходимости.
В турнире онлайн-игры участвуют 128 персонажей. В каждом из 7 раундов персонажи разбиваются на
пары, сражаются между собой, победитель проходит дальше. Изначально уровни персонажей были
равны 1, 2, …, 128. В битве всегда побеждает персонаж с бóльшим уровнем, а если уровни
одинаковы, может победить любой. После каждого тура уровень персонажа может измениться на 1 в
ту или иную сторону, а может остаться прежним. Персонаж с каким наименьшим стартовым уровнем
мог победить в турнире? ---
9 класс, вариант 1
Есть 90 литров смеси, в которой доли красной, зелёной и синей красок равняются 35 %, 25 % и 40 %
соответственно. Сколько литров красной и зелёной краски нужно добавить, чтобы получилась смесь с
40 % красной, 30 % зелёной и 30 % синей красок? Синюю краску добавлять нельзя.
В таблице 6 × 6 отметили несколько клеток. После этого слева от каждой строки написали, сколько
клеток от левой границы до первой отмеченной клетки в этой строке свободны. Аналогичные числа
записали сверху, справа и снизу. После этого числа сверху, а также отметки в клетках стёрли. Найдите
количество отмеченных клеток. Восстановите числа, которые были записаны сверху.
Два равносторонних треугольника с параллельными сторонами расположены так, как показано на
рисунке. Оказалось, что расстояния между параллельными сторонами треугольников равны 3√3.
Найдите разность периметров этих треугольников.
Числа 3, 7, 10, 16, 23 и 31 разбили на три группы по два числа так, что выполняются следующие
условия: в первой группе оказались только простые числа, во второй группе сумма чисел делится на
3, сумма чисел в третьей группе больше половины от общей суммы. Какие числа в какой группе?
Дан треугольник ABC с прямым углом C. Окружность с центром в A, проходящая через C, пересекает
гипотенузу в точке E, а окружность с центром в B, проходящая через C, пересекает гипотенузу в точке
D. Найдите ED, если AD = 15, BE = 30.
В квадрате 5 × 5 расставили натуральные числа от 1 до 25, каждое по одному разу, так, что суммы
чисел в каждой строке, каждом столбце и каждой из двух диагоналей совпали. Оказалось, что в
центре стоит число 18. Чему может быть равна сумма чисел в отмеченных клетках?
Натуральные числа a, b таковы, что число (9a + 10b)/(a + 2b) тоже натуральное. Чему может быть
равно отношение a/b? Укажите все подходящие варианты. Каждый ответ записывайте в отдельное
поле, добавляя их при необходимости.
На квалификационное соревнование, по результатам которого отбираются участники на областной
чемпионат, подали заявки 80 команд. Отбор происходит по следующей схеме. У каждой команды
есть некоторый счёт побед и поражений (изначально 0–0). В каждом матче принимают участие две
команды с одинаковым текущим счётом, и одна из них побеждает, а другая проигрывает (ничьих не
бывает). Если команда набирает 3 поражения, она выбывает из отбора. Если команда набирает 3
победы, она выходит в основную часть и тоже прекращает участие в квалификационном
соревновании. Турнир оканчивается, когда судьба каждой команды будет определена. Сколько
команд попадёт на областной чемпионат? Сколько будет сыграно матчей? ---
9 класс, вариант 2
Есть 70 литров смеси, в которой доли красной, зелёной и синей красок равняются 20 %, 35 % и 45 %
соответственно. Сколько литров красной и зелёной краски нужно добавить, чтобы получилась смесь с
25 % красной, 40 % зелёной и 35 % синей красок? Синюю краску добавлять нельзя.
В таблице 6 × 6 отметили несколько клеток. После этого слева от каждой строки написали, сколько
клеток от левой границы до первой отмеченной клетки в этой строке свободны. Аналогичные числа
записали сверху, справа и снизу. После этого числа сверху, а также отметки в клетках старин. Найдите
количество отмеченных клеток. Восстановите числа, которые были записаны сверху.
Два равносторонних треугольника с параллельными сторонами расположены так, как показано на
рисунке. Оказалось, что расстояния между параллельными сторонами треугольников равны √3/3.
Найдите разность периметров этих треугольников.
Числа 3, 6, 11, 16, 23 и 31 разбили на три группы по два числа так, что выполняются следующие
условия: в первой группе оказались только простые числа, во второй группе сумма чисел делится на
3, сумма чисел в третьей группе больше половины от общей суммы. Какие числа в какой группе?
Дан треугольник ABC с прямым углом C. Окружность с центром в A, проходящая через C, пересекает
гипотенузу в точке E, а окружность с центром в B, проходящая через C, пересекает гипотенузу в точке
D. Найдите ED, если AD = 12, BE = 54.
В квадрате 5 × 5 расставили натуральные числа от 1 до 25, каждое по одному разу, так, что суммы
чисел в каждой строке, каждом столбце и каждой из двух диагоналей совпали. Оказалось, что в
центре стоит число 17. Чему может быть равна сумма чисел в отмеченных клетках?
Натуральные числа a, b таковы, что число (7a + 9b)/(a + 3b) тоже натуральное. Чему может быть равно
отношение a/b? Укажите все подходящие варианты. Каждый ответ записывайте в отдельное поле,
добавляя их при необходимости.
На квалификационное соревнование, по результатам которого отбираются участники на областной
чемпионат, подали заявки 112 команд. Отбор происходит по следующей схеме. У каждой команды
есть некоторый счёт побед и поражений (изначально 0–0). В каждом матче принимают участие две
команды с одинаковым текущим счётом, и одна из них побеждает, а другая проигрывает (ничьих не
бывает). Если команда набирает 3 поражения, она выбывает из отбора. Если команда набирает
9 класс, вариант 3
Есть 80 литров смеси, в которой доли красной, зелёной и синей красок равняются 30 %, 40 % и 30 % соответственно. Сколько литров красной и зелёной краски нужно добавить, чтобы получилась смесь с 35 % красной, 45 % зелёной и 20 % синей красок? Синюю краску добавлять нельзя.
В таблице 6 × 6 отметили несколько клеток. После этого слева от каждой строки написали, сколько клеток от левой границы до первой отмеченной клетки в этой строке свободны. Аналогичные числа записали сверху, справа и снизу. После этого числа сверху, а также отметки в клетках стёрли. Найдите количество отмеченных клеток. Восстановите числа, которые были записаны сверху.
Два равносторонних треугольника с параллельными сторонами расположены так, как показано на рисунке. Оказалось, что расстояния между параллельными сторонами треугольников равны 2√3. Найдите разность периметров этих треугольников.
Числа 3, 8, 11, 16, 23 и 31 разбили на три группы по два числа так, что выполняются следующие условия: в первой группе оказались только простые числа, во второй группе сумма чисел делится на 3, сумма чисел в третьей группе больше половины от общей суммы. Какие числа в какой группе?
Дан треугольник ABC с прямым углом C. Окружность с центром в A, проходящая через C, пересекает гипотенузу в точке E, а окружность с центром в B, проходящая через C, пересекает гипотенузу в точке D. Найдите ED, если AD = 20, BE = 45.
В квадрате 5 × 5 расставили натуральные числа от 1 до 25, каждое по одному разу, так, что суммы чисел в каждой строке, каждом столбце и каждой из двух диагоналей совпали. Оказалось, что в центре стоит число 19. Чему может быть равна сумма чисел в отмеченных клетках?
Натуральные числа a, b таковы, что число (8a + 9b)/(a + 2b) тоже натуральное. Чему может быть равно отношение a/b? Укажите все подходящие варианты. Каждый ответ записывайте в отдельное поле, добавляя их при необходимости.
На квалификационное соревнование, по результатам которого отбираются участники на областной чемпионат, подали заявки 96 команд. Отбор происходит по следующей схеме. У каждой команды есть некоторый счёт побед и поражений (изначально 0–0). В каждом матче принимают участие две команды с одинаковым текущим счётом, и одна из них побеждает, а другая проигрывает (ничьих не бывает). Если команда набирает 3 поражения, она выбывает из отбора. Если команда набирает 3 победы, она выходит в основную часть и тоже прекращает участие в квалификационном соревновании. Турнир оканчивается, когда судьба каждой команды будет определена. Сколько команд попадёт на областной чемпионат? Сколько будет сыграно матчей?
9 класс, вариант 4
Есть 100 литров смеси, в которой доли красной, зелёной и синей красок равняются 25 %, 30 % и 45 % соответственно. Сколько литров красной и зелёной краски нужно добавить, чтобы получилась смесь с 30 % красной, 35 % зелёной и 35 % синей красок? Синюю краску добавлять нельзя.
В таблице 6 × 6 отметили несколько клеток. После этого слева от каждой строки написали, сколько клеток от левой границы до первой отмеченной клетки в этой строке свободны. Аналогичные числа записали сверху, справа и снизу. После этого числа сверху, а также отметки в клетках стёрли. Найдите количество отмеченных клеток. Восстановите числа, которые были записаны сверху.
Два равносторонних треугольника с параллельными сторонами расположены так, как показано на рисунке. Оказалось, что расстояния между параллельными сторонами треугольников равны 4√3. Найдите разность периметров этих треугольников.
Числа 3, 9, 11, 16, 23 и 31 разбили на три группы по два числа так, что выполняются следующие условия: в первой группе оказались только простые числа, во второй группе сумма чисел делится на 3, сумма чисел в третьей группе больше половины от общей суммы. Какие числа в какой группе?
Дан треугольник ABC с прямым углом C. Окружность с центром в A, проходящая через C, пересекает гипотенузу в точке E, а окружность с центром в B, проходящая через C, пересекает гипотенузу в точке D. Найдите ED, если AD = 18, BE = 48.
В квадрате 5 × 5 расставили натуральные числа от 1 до 25, каждое по одному разу, так, что суммы чисел в каждой строке, каждом столбце и каждой из двух диагоналей совпали. Оказалось, что в центре стоит число 16. Чему может быть равна сумма чисел в отмеченных клетках?
Натуральные числа a, b таковы, что число (6a + 7b)/(a + 2b) тоже натуральное. Чему может быть равно отношение a/b? Укажите все подходящие варианты. Каждый ответ записывайте в отдельное поле, добавляя их при необходимости.
На квалификационное соревнование, по результатам которого отбираются участники на областной чемпионат, подали заявки 88 команд. Отбор происходит по следующей схеме. У каждой команды есть некоторый счёт побед и поражений (изначально 0–0). В каждом матче принимают участие две команды с одинаковым текущим счётом, и одна из них побеждает, а другая проигрывает (ничьих не бывает). Если команда набирает 3 поражения, она выбывает из отбора. Если команда набирает 3 победы, она выходит в основную часть и тоже прекращает участие в квалификационном соревновании. Турнир оканчивается, когда судьба каждой команды будет определена. Сколько команд попадёт на областный чемпионат? Сколько будет сыграно матчей?
10 класс, вариант 1
В треугольнике ABC известно, что AB = 5, BC = 6, AC = 7. На стороне BC выбрана точка D так, что BD = 2. Найдите длину отрезка AD.
Найдите все значения параметра a, при каждом из которых уравнение (x² + 2x + a)(x² - 4x + a + 5) = 0 имеет ровно три различных корня.
В правильной треугольной пирамиде SABC с вершиной S проведена плоскость, параллельная прямым SA и BC. В каком отношении эта плоскость делит высоту пирамиды, считая от вершины S?
Найдите все значения параметра a, при каждом из которых система уравнений { x² + y² = 4; x - y = a(x⁴ + y⁴) } имеет ровно два решения.
Найдите все значения параметра a, при каждом из которых уравнение 4ˣ - a = 2ˣ⁺¹ + 3 имеет ровно один корень.
Внутри выпуклого четырёхугольника площади 1 расположена точка. Площади треугольников, образованных этой точкой и двумя соседними вершинами четырёхугольника, равны 0,1; 0,2; 0,3 и 0,4 (в некотором порядке). Найдите длины диагоналей четырёхугольника.
Найдите все значения параметра a, при каждом из которых уравнение x³ + 3x² - 9x = a(x² + 3x - 10) имеет ровно два различных корня.
Найдите все значения параметра a, при каждом из которых уравнение 4ˣ - a = 2ˣ⁺¹ + 3 имеет ровно один корень.
10 класс, вариант 2
В треугольнике ABC известно, что AB = 6, BC = 5, AC = 7. На стороне BC выбрана точка D так, что BD = 3. Найдите длину отрезка AD.
Найдите все значения параметра a, при каждом из которых уравнение (x² + 4x + a)(x² - 2x + a + 3) = 0 имеет ровно три различных корня.
В правильной треугольной пирамиде SABC с вершиной S проведена плоскость, параллельная прямым SB и AC. В каком отношении эта плоскость делит высоту пирамиды, считая от вершины S?
Найдите все значения параметра a, при каждом из которых система уравнений { x² + y² = 9; x - y = a(x⁴ + y⁴) } имеет ровно два решения.
Найдите все значения параметра a, при каждом из которых уравнение 9ˣ - a = 3ˣ⁺¹ + 8 имеет ровно один корень.
Внутри выпуклого четырёхугольника площади 1 расположена точка. Площади треугольников, образованных этой точкой и двумя соседними вершинами четырёхугольника, равны 0,15; 0,2; 0,25 и 0,4 (в некотором порядке). Найдите длины диагоналей четырёхугольника.
Найдите все значения параметра a, при каждом из которых уравнение x³ + 3x² - 9x = a(x² + 3x - 4) имеет ровно два различных корня.
Найдите все значения параметра a, при каждом из которых уравнение 9ˣ - a = 3ˣ⁺¹ + 8 имеет ровно один корень.
---
10 класс, вариант 3
В треугольнике ABC известно, что AB = 7, BC = 5, AC = 6. На стороне BC выбрана точка D так, что BD = 2. Найдите длину отрезка AD.
Найдите все значения параметра a, при каждом из которых уравнение (x² + 6x + a)(x² - 2x + a + 5) = 0 имеет ровно три различных корня.
В правильной треугольной пирамиде SABC с вершиной S проведена плоскость, параллельная прямым SC и AB. В каком отношении эта плоскость делит высоту пирамиды, считая от вершины S?
Найдите все значения параметра a, при каждом из которых система уравнений { x² + y² = 16; x - y = a(x⁴ + y⁴) } имеет ровно два решения.
Найдите все значения параметра a, при каждом из которых уравнение 16ˣ - a = 4ˣ⁺¹ + 15 имеет ровно один корень.
Внутри выпуклого четырёхугольника площади 1 расположена точка. Площади треугольников, образованных этой точкой и двумя соседними вершинами четырёхугольника, равны 0,12; 0,18; 0,28 и 0,42 (в некотором порядке). Найдите длины диагоналей четырёхугольника.
Найдите все значения параметра a, при каждом из которых уравнение x³ + 3x² - 9x = a(x² + 3x - 18) имеет ровно два различных корня.
Найдите все значения параметра a, при каждом из которых уравнение 16ˣ - a = 4ˣ⁺¹ + 15 имеет ровно один корень.
---
10 класс, вариант 4
В треугольнике ABC известно, что AB = 8, BC = 6, AC = 7. На стороне BC выбрана точка D так, что BD = 4. Найдите длину отрезка AD.
Найдите все значения параметра a, при каждом из которых уравнение (x² + 8x + a)(x² - 4x + a + 7) = 0 имеет ровно три различных корня.
В правильной треугольной пирамиде SABC с вершиной S проведена плоскость, параллельная прямым SA и BC. В каком отношении эта плоскость делит высоту пирамиды, считая от вершины S?
Найдите все значения параметра a, при каждом из которых система уравнений { x² + y² = 25; x - y = a(x⁴ + y⁴) } имеет ровно два решения.
Найдите все значения параметра a, при каждом из которых уравнение 25ˣ - a = 5ˣ⁺¹ + 24 имеет ровно один корень.
Внутри выпуклого четырёхугольника площади 1 расположена точка. Площади треугольников, образованных этой точкой и двумя соседними вершинами четырёхугольника, равны 0,14; 0,21; 0,26 и 0,39 (в некотором порядке). Найдите длины диагоналей четырёхугольника.
Найдите все значения параметра a, при каждом из которых уравнение x³ + 3x² - 9x = a(x² + 3x - 28) имеет ровно два различных корня.
Найдите все значения параметра a, при каждом из которых уравнение 25ˣ - a = 5ˣ⁺¹ + 24 имеет ровно один корень.
---
11 класс, вариант 1
В треугольнике ABC известно, что AB = 5, BC = 6, AC = 7. На стороне BC выбрана точка D так, что BD = 2. Найдите длину отрезка AD.
Найдите все значения параметра a, при каждом из которых уравнение (x² + 2x + a)(x² - 4x + a + 5) = 0 имеет ровно три различных корня.
В правильной треугольной пирамиде SABC с вершиной S проведена плоскость, параллельная прямым SA и BC. В каком отношении эта плоскость делит высоту пирамиды, считая от вершины S?
Найдите все значения параметра a, при каждом из которых система уравнений { x² + y² = 4; x - y = a(x⁴ + y⁴) } имеет ровно два решения.
Найдите все значения параметра a, при каждом из которых уравнение 4ˣ - a = 2ˣ⁺¹ + 3 имеет ровно один корень.
Внутри выпуклого четырёхугольника площади 1 расположена точка. Площади треугольников, образованных этой точкой и двумя соседними вершинами четырёхугольника, равны 0,1; 0,2; 0,3 и 0,4 (в некотором порядке). Найдите длины диагоналей четырёхугольника.
Найдите все значения параметра a, при каждом из которых уравнение x³ + 3x² - 9x = a(x² + 3x - 10) имеет ровно два различных корня.
Найдите все значения параметра a, при каждом из которых уравнение 4ˣ - a = 2ˣ⁺¹ + 3 имеет ровно один корень.
---
11 класс, вариант 2
В треугольнике ABC известно, что AB = 6, BC = 5, AC = 7. На стороне BC выбрана точка D так, что BD = 3. Найдите длину отрезка AD.
Найдите все значения параметра a, при каждом из которых уравнение (x² + 4x + a)(x² - 2x + a + 3) = 0 имеет ровно три различных корня.
В правильной треугольной пирамиде SABC с вершиной S проведена плоскость, параллельная прямым SB и AC. В каком отношении эта плоскость делит высоту пирамиды, считая от вершины S?
Найдите все значения параметра a, при каждом из которых система уравнений { x² + y² = 9; x - y = a(x⁴ + y⁴) } имеет ровно два решения.
Найдите все значения параметра a, при каждом из которых уравнение 9ˣ - a = 3ˣ⁺¹ + 8 имеет ровно один корень.
Внутри выпуклого четырёхугольника площади 1 расположена точка. Площади треугольников, образованных этой точкой и двумя соседними вершинами четырёхугольника, равны 0,15; 0,2; 0,25 и 0,4 (в некотором порядке). Найдите длины диагоналей четырёхугольника.
Найдите все значения параметра a, при каждом из которых уравнение x³ + 3x² - 9x = a(x² + 3x - 4) имеет ровно два различных корня.
Найдите все значения параметра a, при каждом из которых уравнение 9ˣ - a = 3ˣ⁺¹ + 8 имеет ровно один корень.
---
11 класс, вариант 3
В треугольнике ABC известно, что AB = 7, BC = 5, AC = 6. На стороне BC выбрана точка D так, что BD = 2. Найдите длину отрезка AD.
Найдите все значения параметра a, при каждом из которых уравнение (x² + 6x + a)(x² - 2x + a + 5) = 0 имеет ровно три различных корня.
В правильной треугольной пирамиде SABC с вершиной S проведена плоскость, параллельная прямым SC и AB. В каком отношении эта плоскость делит высоту пирамиды, считая от вершины S?
Найдите все значения параметра a, при каждом из которых система уравнений { x² + y² = 16; x - y = a(x⁴ + y⁴) } имеет ровно два решения.
Найдите все значения параметра a, при каждом из которых уравнение 16ˣ - a = 4ˣ⁺¹ + 15 имеет ровно один корень.
Внутри выпуклого четырёхугольника площади 1 расположена точка. Площади треугольников, образованных этой точкой и двумя соседними вершинами четырёхугольника, равны 0,12; 0,18; 0,28 и 0,42 (в некотором порядке). Найдите длины диагоналей четырёхугольника.
Найдите все значения параметра a, при каждом из которых уравнение x³ + 3x² - 9x = a(x² + 3x - 18) имеет ровно два различных корня.
Найдите все значения параметра a, при каждом из которых уравнение 16ˣ - a = 4ˣ⁺¹ + 15 имеет ровно один корень.
---
11 класс, вариант 4
В треугольнике ABC известно, что AB = 8, BC = 6, AC = 7. На стороне BC выбрана точка D так, что BD = 4. Найдите длину отрезка AD.
Найдите все значения параметра a, при каждом из которых уравнение (x² + 8x + a)(x² - 4x + a + 7) = 0 имеет ровно три различных корня.
В правильной треугольной пирамиде SABC с вершиной S проведена плоскость, параллельная прямым SA и BC. В каком отношении эта плоскость делит высоту пирамиды, считая от вершины S?
Найдите все значения параметра a, при каждом из которых система уравнений { x² + y² = 25; x - y = a(x⁴ + y⁴) } имеет ровно два решения.
Найдите все значения параметра a, при каждом из которых уравнение 25ˣ - a = 5ˣ⁺¹ + 24 имеет ровно один корень.
Внутри выпуклого четырёхугольника площади 1 расположена точка. Площади треугольников, образованных этой точкой и двумя соседними вершинами четырёхугольника, равны 0,14; 0,21; 0,26 и 0,39 (в некотором порядке). Найдите длины диагоналей четырёхугольника.
Найдите все значения параметра a, при каждом из которых уравнение x³ + 3x² - 9x = a(x² + 3x - 28) имеет ровно два различных корня.
Найдите все значения параметра a, при каждом из которых уравнение 25ˣ - a = 5ˣ⁺¹ + 24 имеет ровно один корень.
