Задания и Ответы ВсОШ Школьный этап по Математика Сириус 2025 года 7-11 класс 2 группа на 14.10.2025
Задания и Ответы ВсОШ Школьный этап по Математика Сириус 2025 года 7-11 класс 2 группа на 14.10.2025
Олимпиада по Математике на платформе Сириус проводится 14 сентября. Олимпиаду пишет 1 группа с 7 по 11 классы. Олимпиада пишется онлайн с 8 утра до 22 вечера. В олимпиаде могут участвовать все по своему желанию. Ответы и решения будут доступны с 8 утра по местному времени.
Работа подойдет для регионов группы
1. Архангельская область
2. Волгоградская область
3. Вологодская область
4. город Севастополь
5. Донецкая Народная Республика
6. Запорожская область
7. Кабардино-Балкарская Республика
8. Карачаево-Черкесская Республика
9. Краснодарский край
10. Мурманская область
11. Новгородская область
12. Псковская область
13. Республика Адыгея
14. Республика Дагестан
15. Республика Калмыкия
16. Республика Карелия
17. Республика Коми
18. Республика Крым
19. Республика Северная Осетия — Алания
20. Ростовская область
21. Ставропольский край
22. Херсонская область23. Чеченская Республика
9 класс Вариант 1
№ 1
Есть 90 литров смеси, в которой доли красной, зелёной и синей красок равняются 35 %, 25
% и 40 % соответственно. Сколько литров красной и зелёной краски нужно добавить,
чтобы получилась смесь с 40 % красной, 30 % зелёной и 30 % синей красок? Синюю
краску добавлять нельзя.
Красной: ______ л
Зелёной: ______ л
№ 2
В таблице 6 \times 6 отметили несколько клеток. После этого слева от каждой строки
написали, сколько клеток от левой границы до первой отмеченной клетки в этой строке
свободны. Аналогичные числа записали сверху, справа и снизу. После этого числа сверху,
а также отметки в клетках старин.
Найдите количество отмеченных клеток.
Восстановите числа, которые были записаны сверху.
(Дана таблица с числами слева: 2, 5, 1, 1, 0, 4)
№ 3
Два равносторонних треугольника с параллельными сторонами расположены так, как
показано на рисунке. Оказалось, что расстояния между параллельными сторонами
треугольников равны 3\sqrt{3}. Найдите разность периметров этих треугольников.
№ 4
Числа 3, 6, 11, 16, 23 и 31 разбили на три группы по два числа так, что выполняются
следующие условия:
· в первой группе оказались только простые числа,
· во второй группе сумма чисел делится на 3,
· сумма чисел в третьей группе больше половины от общей суммы.
Какие числа в какой группе?
(Дана таблица для заполнения)
№ 5
Дан треугольник ABC с прямым углом C. Окружность с центром в A, проходящая через C,
пересекает гипотенузу в точке E, а окружность с центром в B, проходящая через C,
пересекает гипотенузу в точке D. Найдите ED, если AD = 15, BE = 30.
№ 6
В квадрате 5 \times 5 расставили натуральные числа от 1 до 25, каждое по одному разу,
так, что суммы чисел в каждой строке, каждом столбце и каждой из двух диагоналей
совпали. Оказалось, что в центре стоит число 18.
Чему может быть равна сумма чисел в отмеченных клетках?
№ 7
Натуральные числа a, b таковы, что число \frac{9a + 10b}{a + 2b} — тоже натуральное. Чему
может быть равно отношение \frac{a}{b}? Укажите все подходящие варианты. Каждый
ответ записывайте в отдельное поле, добавляя их при необходимости.
№ 8
На квалификационное соревнование, по результатам которого отбираются участники на
областной чемпионат, подали заявки 80 команд. Отбор происходит по следующей схеме.
У каждой команды есть некоторый счёт побед и поражений (изначально 0–0). В каждом
матче принимают участие две команды с одинаковым текущим счётом, и одна из них
побеждает, а другая проигрывает (ничьих не бывает). Если команда набирает 3 поражения,
она выбывает из отбора. Если команда набирает 3 победы, она выходит в основную часть и
тоже прекращает участие в квалификационном соревновании. Турнир оканчивается, когда
судьба каждой команды будет определена.
Сколько команд попадёт на областной чемпионат?
Сколько будет сыграно матчей?
---
9 класс Вариант 2
№ 1
Есть 70 литров смеси, в которой доли красной, зелёной и синей красок равняются 20 %, 35
% и 45 % соответственно. Сколько литров красной и зелёной краски нужно добавить,
чтобы получилась смесь с 25 % красной, 40 % зелёной и 35 % синей красок? Синюю
краску добавлять нельзя.
Красной: ______ л
Зелёной: ______ л
№ 2
В таблице 6 \times 6 отметили несколько клеток. После этого слева от каждой строки
написали, сколько клеток от левой границы до первой отмеченной клетки в этой строке
свободны. Аналогичные числа записали сверху, справа и снизу. После этого числа сверху,
а также отметки в клетках старин.
Найдите количество отмеченных клеток.
Восстановите числа, которые были записаны сверху.
(Дана таблица с числами слева: 2, 5, 1, 1, 0, 4)
№ 3
Два равносторонних треугольника с параллельными сторонами расположены так, как
показано на рисунке. Оказалось, что расстояния между параллельными сторонами
треугольников равны \frac{\sqrt{3}}{3}. Найдите разность периметров этих треугольников.
№ 4
Числа 3, 6, 11, 16, 23 и 31 разбили на три группы по два числа так, что выполняются
следующие условия:
· в первой группе оказались только простые числа,
· во второй группе сумма чисел делится на 3,
· сумма чисел в третьей группе больше половины от общей суммы.
Какие числа в какой группе?
(Дана таблица для заполнения)
№ 5
Дан треугольник ABC с прямым углом C. Окружность с центром в A, проходящая через C,
пересекает гипотенузу в точке E, а окружность с центром в B, проходящая через C,
пересекает гипотенузу в точке D. Найдите ED, если AD = 12, BE = 54.
№ 6
В квадрате 5 \times 5 расставили натуральные числа от 1 до 25, каждое по одному разу,
так, что суммы чисел в каждой строке, каждом столбце и каждой из двух диагоналей
совпали. Оказалось, что в центре стоит число 17.
Чему может быть равна сумма чисел в отмеченных клетках?
№ 7
Натуральные числа a, b таковы, что число \frac{7a + 9b}{a + 3b} — тоже натуральное. Чему
может быть равно отношение \frac{a}{b}? Укажите все подходящие варианты. Каждый
ответ записывайте в отдельное поле, добавляя их при необходимости.
№ 8
На квалификационное соревнование, по результатам которого отбираются участники на
областной чемпионат, подали заявки 112 команд. Отбор происходит по следующей схеме.
У каждой команды есть некоторый счёт побед и поражений (изначально 0–0). В каждом
матче принимают участие две команды с одинаковым текущим счётом, и одна из них
побеждает, а другая проигрывает (ничьих не бывает). Если команда набирает 3 поражения,
она выбывает из отбора. Если команда набирает 3 победы, она выходит в основную часть и
тоже прекращает участие в квалификационном соревновании. Турнир оканчивается, когда
судьба каждой команды будет определена.
Сколько команд попадёт на областной чемпионат?
Сколько будет сыграно матчей?
---
10 класс Вариант 1
№ 1
Найдите максимальное натуральное число n > 100 — такое, что при стирании двух
последних цифр оно уменьшается ровно в 115 раз.
№ 2
В конкурсе участвовало несколько танцевальных пар. Каждый пожал руку всем
остальным, кроме себя и своего партнёра. Всего было сделано 80400 рукопожатий.
Сколько было пар?
№ 3
Последовательность целых чисел \{x_n\} такова, что x_1 = 1300 и x_{n+1} = |x_n - 7| для всех
n > 1. Найдите такое минимальное n, что x_{n+2} = x_n.
№ 4
На праздновании Нового года 46 школьников встали в хоровод. Каждую минуту один из
школьников, которому не дарили подарков и который не дарил подарок, дарит подарок
одному из двух ближайших слева соседей. Можно дарить подарок школьнику, у которого
уже есть подарок. Когда каждый школьник подарил или получил хотя бы один подарок,
обмен подарками заканчивается.
Какое максимальное количество школьников могло получить подарки?
Какое минимальное количество школьников могло получить подарки?
№ 5
В описанном четырёхугольнике ABCD оказалось, что \angle ABC = \angle ACD = 90^\circ, AB
= 7, BC = 5. Найдите CD.
№ 6
Каждый член последовательности натуральных чисел, начиная с третьего, равен сумме
двух предыдущих, а восьмой член равен 2613.
Сколько существует таких последовательностей?
Чему равен второй член последовательности, если первый равен 13?
№ 7
Дан вписанный четырёхугольник ABCD. Оказалось, что касательная в точке D к описанной
окружности параллельна биссектрисе угла ABC. При этом ∠ABD = 10^\circ и ∠DBC =
92^\circ. Найдите ∠BCA. Ответ выразите в градусах.
№ 8
В ряд стоят 32 ящика, пронумерованных слева направо числами от 1 до 32. В ящиках с
нечётными номерами лежит по 45 шариков, с чётными — по 46. За одну операцию
разрешается выбрать не крайний справа ящик с нечётным количеством шариков и
переложить один шарик из него в соседний справа ящик. Если никакую операцию сделать
невозможно, процесс заканчивается.
Через какое минимальное количество операций мог закончиться процесс?
Через какое максимальное количество операций мог закончиться процесс?
---
10 класс Вариант 2
№ 1
Найдите максимальное натуральное число n > 100 — такое, что при стирании двух
последних цифр оно уменьшается ровно в 113 раз.
№ 2
В конкурсе участвовало несколько танцевальных пар. Каждый пожал руку всем
остальным, кроме себя и своего партнёра. Всего было сделано 20200 рукопожатий.
Сколько было пар?
№ 3
Последовательность целых чисел \{x_n\} такова, что x_1 = 1000 и x_{n+1} = |x_n - 7| для всех
n > 1. Найдите такое минимальное n, что x_{n+2} = x_n.
№ 4
На праздновании Нового года 40 школьников встали в хоровод. Каждую минуту один из
школьников, которому не дарили подарков и который не дарил подарок, дарит подарок
одному из двух ближайших слева соседей. Можно дарить подарок школьнику, у которого
уже есть подарок. Когда каждый школьник подарил или получил хотя бы один подарок,
обмен подарками заканчивается.
Какое максимальное количество школьников могло получить подарки?
Какое минимальное количество школьников могло получить подарки?
№ 5
В описанном четырёхугольнике ABCD оказалось, что \angle ABC = \angle ACD = 90^\circ, AB
= 5, BC = 3. Найдите CD.
№ 6
Каждый член последовательности натуральных чисел, начиная с третьего, равен сумме
двух предыдущих, а восьмой член равен 650.
Сколько существует таких последовательностей?
Чему равен второй член последовательности, если первый равен 13?
№ 7
Дан вписанный четырёхугольник ABCD. Оказалось, что касательная в точке D к описанной
окружности параллельна биссектрисе угла ABC. При этом ∠ABD = 13^\circ и ∠DBC =
93^\circ. Найдите ∠BCA. Ответ выразите в градусах.
№ 8
В ряд стоят 24 ящика, пронумерованных слева направо числами от 1 до 24. В ящиках с
нечётными номерами лежит по 45 шариков, с чётными — по 46. За одну операцию
разрешается выбрать не крайний справа ящик с нечётным количеством шариков и
переложить один шарик из него в соседний справа ящик. Если никакую операцию сделать
невозможно, процесс заканчивается.
Через какое минимальное количество операций мог закончиться процесс?
Через какое максимальное количество операций мог закончиться процесс?
---
11 класс Вариант 1
№ 1
Дана арифметическая прогрессия \{a_n\}, такая, что a_1 + a_2 = 11, a_1 + a_2 + a_3 + \ldots
+ a_8 = 164.
Найдите a_1.
Найдите разность этой арифметической прогрессии.
№ 2
У Вити есть четыре карточки, на которых написаны числа 1, 2, 4, 7. Он случайным образом
составляет из них число вида \overrightarrow{ab}. С какой вероятностью это число делится
на 3?
№ 3
Во вписанном четырёхугольнике ABCD отметили точку E — пересечение лучей AD и BC —
и точку F — пересечение лучей AB и DC. Оказалось, что CD = DE, \angle AEB = 51^\circ и
угловые меры дуг BC и AD находятся в соотношении 2 : 5.
Найдите угол AFD. Ответ выразите в градусах.
Найдите величину малой дуги BC. Ответ выразите в градусах.
№ 4
Найдите количество пар различных натуральных чисел a, b, таких, что 1 \leq a < b \leq 100 и
\lfloor \sqrt{a} \rfloor + \lceil \sqrt{b} \rceil = \lceil \sqrt{a} \rceil + \lfloor \sqrt{b} \rfloor. Напомним,
что [x] обозначает наибольшее целое число, меньшее или равное x, а [x] — наименьшее
целое число, большее или равное x.
№ 5
Дана колода из 300 карт, на каждой из которых записано натуральное число от 1 до 300
(каждое число встречается по одному разу). Петя раскладывает пасьянс. Для этого Петя
выкладывает карты в прямоугольник 3 \times 100 (3 строки, 100 столбцов) так, что числа на
картах в каждом столбце возрастают сверху вниз, а также любое число в нижней строке
больше любого числа в верхней строке. Удачностью пасьянса называется сумма всех
чисел на карточках в верхней и нижней строках. Какой максимальной удачности пасьянс
может выложить Петя?
№ 6
Толя задумал два квадратных трёхчлена. Корни первого трёхчлена равны 1 и 2, а один из
двух корней второго трёхчлена равен -5. Также известно, что графики трёхчленов
пересекаются в двух точках: одна из них имеет координаты (3, 4), а вторая лежит на оси
ординат.
Найдите ординату второй точки пересечения графиков.
Найдите произведение корней второго трёхчлена.
№ 7
В прямоугольном параллелепипеде ABCDA_1B_1C_1D_1 площадь треугольника BCC_1
равна 12, треугольника ACC_1 — 24.
Пусть S — площадь треугольника CDC_1. Найдите S^2.
Оказалось, что площадь треугольника ABC_1 равна 31. Чему равна площадь треугольника
ABC?
№ 8
Каждый день в 8:00 Петя выписывает на доску букву a, b или c. Затем каждую минуту он
делает одно из следующих действий:
· приписывает сразу после буквы a букву c;
· приписывает сразу перед буквой b букву c;
· приписывает сразу после буквы c ещё одну букву c;
· стирает букву c и вписывает на том же месте комбинацию ba.
Через 9 минут, получив последовательность из 10 букв, Петя останавливается. Сколько
различных последовательностей из 10 букв, в которых ровно 2 буквы c, может получить
Петя?
---
11 класс Вариант 2
№ 1
Дана арифметическая прогрессия \{a_n\}, такая, что a_1 + a_2 = 9, a_1 + a_2 + a_3 + \ldots +
a_8 = 108.
Найдите a_1.
Найдите разность этой арифметической прогрессии.
№ 2
У Вити есть четыре карточки, на которых написаны числа 3, 5, 7, 8. Он случайным образом
составляет из них число вида \overrightarrow{ab}. С какой вероятностью это число делится
на 3?
№ 3
Во вписанном четырёхугольнике ABCD отметили точку E — пересечение лучей AD и BC —
и точку F — пересечение лучей AB и DC. Оказалось, что CD = DE, \angle AEB = 52^\circ и
угловые меры дуг \overrightarrow{BC} и \overrightarrow{AD} находятся в соотношении 1 : 4.
Найдите угол AFD. Ответ выразите в градусах.
Найдите величину малой дуги \overrightarrow{BC}. Ответ выразите в градусах.
№ 4
Найдите количество пар различных натуральных чисел a, b, таких, что 1 \leq a < b \leq 64 и
\lfloor \sqrt{a} \rfloor + \lceil \sqrt{b} \rceil = \lceil \sqrt{a} \rceil + \lfloor \sqrt{b} \rfloor. Напомним,
что [x] обозначает наибольшее целое число, меньшее или равное x, а [x] — наименьшее
целое число, большее или равное x.
№ 5
Дана колода из 1200 карт, на каждой из которых записано натуральное число от 1 до 1200
(каждое число встречается по одному разу). Петя раскладывает пасьянс. Для этого Петя
выкладывает карты в прямоугольник 3 × 400 (3 строки, 400 столбцов) так, что числа на
картах в каждом столбце возрастают сверху вниз, а также любое число в нижней строке
больше любого числа в верхней строке. Удачностью пасьянса называется сумма всех
чисел на карточках в верхней и нижней строках. Какой максимальной удачности пасьянс
может выложить Петя?
№ 6
Толя задумал два квадратных трёхчлена. Корни первого трёхчлена равны 1 и 4, а один из
двух корней второго трёхчлена равен —4. Также известно, что графики трёхчленов
пересекаются в двух точках: одна из них имеет координаты (5, 8), а вторая лежит на оси
ординат.
Найдите ординату второй точки пересечения графиков.
Найдите произведение корней второго трёхчлена.
№ 7
В прямоугольном параллелепипеде ABCDA_1B_1C_1D_1 площадь треугольника BCC_1
равна 1, треугольника ACC_1 — 34.
Пусть S — площадь треугольника CDC_1. Найдите S^2.
Оказалось, что площадь треугольника ABC_1 равна 46. Чему равна площадь треугольника
ABC?
№ 8
Каждый день в 8:00 Петя выписывает на доску букву a, b или c. Затем каждую минуту он
делает одно из следующих действий:
· приписывает сразу после буквы a букву c;
· приписывает сразу перед буквой b букву c;
· приписывает сразу после буквы c ещё одну букву c;
· стирает букву c и вписывает на том же месте комбинацию ba.
Через 11 минут, получив последовательность из 12 букв, Петя останавливается. Сколько
различных последовательностей из 12 букв, в которых ровно 2 буквы c, может получить
Петя?
---
11 класс вариант 3
№ 1
Дана арифметическая прогрессия \{a_n\}, такая, что a_1 + a_2 = 10, a_1 + a_2 + a_3 + \ldots
+ a_8 = 88.
Найдите a_1.
Найдите разность этой арифметической прогрессии.
№ 2
У Вити есть четыре карточки, на которых написаны числа 1, 2, 4, 5. Он случайным образом
составляет из них число вида \overrightarrow{ab}. С какой вероятностью это число делится
на 3?
№ 3
Во вписанном четырёхугольнике ABCD отметили точку E — пересечение лучей AD и BC —
и точку F — пересечение лучей AB и DC. Оказалось, что CD = DE, \angle AEB = 48^\circ и
угловые меры дуг \overrightarrow{BC} и \overrightarrow{AD} находятся в соотношении 3:7.
Найдите угол AFD. Ответ выразите в градусах.
Найдите величину малой дуги \overrightarrow{BC}. Ответ выразите в градусах.
№ 4
Найдите количество пар различных натуральных чисел a, b, таких, что 1 \leq a < b \leq 81 и
\left[ \sqrt{a} \right] + \left[ \sqrt{b} \right] = \left[ \sqrt{a} \right] + \left[ \sqrt{b} \right]. Напомним,
что \left[x\right] обозначает наибольшее целое число, меньшее или равное x, а \left[x\right] —
наименьшее целое число, большее или равное x. (Прим.: видимо, опечатка в условии,
должно быть разное обозначение для пола и потолка).
№ 5
Дана колода из 600 карт, на каждой из которых записано натуральное число от 1 до 600
(каждое число встречается по одному разу). Петя раскладывает пасьянс. Для этого Петя
выкладывает карты в прямоугольник 3 \times 200 (3 строки, 200 столбцов) так, что числа на
картах в каждом столбце возрастают сверху вниз, а также любое число в нижней строке
больше любого числа в верхней строке. Удачностью пасьянса называется сумма всех
чисел на карточках в верхней и нижней строках. Какой максимальной удачности пасьянс
может выложить Петя?
№ 6
Толя задумал два квадратных трёхчлена. Корни первого трёхчлена равны 2 и 4, а один из
двух корней второго трёхчлена равен -3. Также известно, что графики трёхчленов
пересекаются в двух точках: одна из них имеет координаты (6, 7), а вторая лежит на оси
ординат.
Найдите ординату второй точки пересечения графиков.
Найдите произведение корней второго трёхчлена.
№ 7
В прямоугольном параллелепипеде ABCDA_1B_1C_1D_1 площадь треугольника BCC_1
равна 2, треугольника ACC_1 — 37.
Пусть S — площадь треугольника CDC_1. Найдите S^2.
Оказалось, что площадь треугольника ABC_1 равна 43. Чему равна площадь треугольника
ABC?
№ 8
Каждый день в 8:00 Петя выписывает на доску букву a, b или c. Затем каждую минуту он
делает одно из следующих действий:
· приписывает сразу после буквы a букву c;
· приписывает сразу перед буквой b букву c;
· приписывает сразу после буквы c ещё одну букву c;
· стирает букву c и вписывает на том же месте комбинацию ba.
Через 15 минут, получив последовательность из 16 букв, Петя останавливается. Сколько
различных последовательностей из 16 букв, в которых ровно 2 буквы c, может получить
Петя?
---
11 класс Вариант 4
№ 1
Дана арифметическая прогрессия \{a_n\}, такая, что a_1 + a_2 = 14, a_1 + a_2 + a_3 + \ldots
+ a_8 = 104.
Найдите a_1.
Найдите разность этой арифметической прогрессии.
№ 2
У Вити есть четыре карточки, на которых написаны числа 1, 3, 4, 6. Он случайным образом
составляет из них число вида \overrightarrow{ab}. С какой вероятностью это число делится
на 3?
№ 3
Во вписанном четырёхугольнике ABCD отметили точку E — пересечение лучей AD и BC —
и точку F — пересечение лучей AB и DC. Оказалось, что CD = DE, \angle AEB = 53^\circ и
угловые меры дуг \overrightarrow{BC} и \overrightarrow{AD} находятся в соотношении 1 : 4.
Найдите угол AFD. Ответ выразите в градусах.
Найдите величину малой дуги \overrightarrow{BC}. Ответ выразите в градусах.
№ 4
Найдите количество пар различных натуральных чисел a, b, таких, что 1 \leq a < b \leq 144 и
\lfloor \sqrt{a} \rfloor + \lceil \sqrt{b} \rceil = \lceil \sqrt{a} \rceil + \lfloor \sqrt{b} \rfloor.
№ 5
Дана колода из 900 карт, на каждой из которых записано натуральное число от 1 до 900
(каждое число встречается по одному разу). Петя раскладывает пасьянс. Для этого Петя
выкладывает карты в прямоугольник 3 \times 300 (3 строки, 300 столбцов) так, что числа на
картах в каждом столбце возрастают сверху вниз, а также любое число в нижней строке
больше любого числа в верхней строке. Удачностью пасьянса называется сумма всех
чисел на карточках в верхней и нижней строках. Какой максимальной удачности пасьянс
может выложить Петя?
№ 6
Толя задумал два квадратных трёхчлена. Корни первого трёхчлена равны 1 и 3, а один из
двух корней второго трёхчлена равен -5. Также известно, что графики трёхчленов
пересекаются в двух точках: одна из них имеет координаты (4, 6), а вторая лежит на оси
ординат.
Найдите ординату второй точки пересечения графиков.
Найдите произведение корней второго трёхчлена.
№ 7
В прямоугольном параллелепипеде ABCDA_1B_1C_1D_1 площадь треугольника BCC_1
равна 2, треугольника ACC_1 — 37.
Пусть S — площадь треугольника CDC_1. Найдите S^2.
Оказалось, что площадь треугольника ABC_1 равна 43. Чему равна площадь треугольника
ABC?
№ 8
Каждый день в 8:00 Петя выписывает на доску букву a, b или c. Затем каждую минуту он
делает одно из следующих действий:
· приписывает сразу после буквы a букву c;
· приписывает сразу перед буквой b букву c;
· приписывает сразу после буквы c ещё одну букву c;
· стирает букву c и вписывает на том же месте комбинацию ba.
Через 13 минут, получив последовательность из 14 букв, Петя останавливается. Сколько
различных последовательностей из 14 букв, в которых ровно 2 буквы c, может получить
Петя?
