Задания и Ответы ВсОШ Школьный этап по Математика Сириус 2025 года 7-11 класс 1 группа на 15.10.2025
Задания и Ответы ВсОШ Школьный этап по Математика Сириус 2025 года 7-11 класс 1 группа на 15.10.2025
Олимпиада по Математике на платформе Сириус проводится 15 октября. Олимпиаду пишет 1 группа с 7 по 11 классы. Олимпиада пишется онлайн с 8 утра до 22 вечера. В олимпиаде могут участвовать все по своему желанию. Ответы и решения будут доступны с 8 утра по местному времени.
Работа подойдет для регионов группы
1. Архангельская область
2. Волгоградская область
3. Вологодская область
4. город Севастополь
5. Донецкая Народная Республика
6. Запорожская область
7. Кабардино-Балкарская Республика
8. Карачаево-Черкесская Республика
9. Краснодарский край
10. Мурманская область
11. Новгородская область
12. Псковская область
13. Республика Адыгея
14. Республика Дагестан
15. Республика Калмыкия
16. Республика Карелия
17. Республика Коми
18. Республика Крым
19. Республика Северная Осетия — Алания
20. Ростовская область
21. Ставропольский край
22. Херсонская область
23. Чеченская Республика
7 класс – Вариант 1
Если от трёхзначного числа отнять 7, оно разделится на 7; если отнять 8, оно разделится на 8; если отнять 9 — оно разделится на 9. Найдите это число.
---
Из куска проволоки согнули прямоугольник, длина которого в 3 раза больше ширины. Затем разогнули проволоку и согнули из неё другой прямоугольник с длиной на 20 % больше, чем раньше. На сколько процентов уменьшилась его ширина?
---
В каждой клетке квадрата \( 12 \times 12 \) лежит монета орлом вверх. Какое наименьшее количество монет нужно перевернуть, чтобы в результате на каждой горизонтали, вертикали и обеих диагоналях были как монеты, лежащие вверх орлом, так и монеты, лежащие вверх решкой?
В одной из двух канистр содержится 14 литров воды, другая пуста. Из первой канистры во вторую переливают половину имеющейся там воды, затем из второй в первую — треть имеющейся там воды, потом из первой во вторую — четверть имеющейся там воды и т. д. Сколько воды будет в первой канистре после 1003 переливаний? Ответ выразите в литрах.
---
Стороны клетчатого многоугольника с периметром 20, проходят по линиям сетки? Сторона клетки равна 1.
Определите минимально возможное количество его вершин.
Определите максимально возможное количество его вершин.
---
Все числа от 1 до 600 выписали подряд: 123456789101112 ... 599600. Сколько раз в этом ряду сразу после цифры 3 стоит цифра 4?
В клетках таблицы \( 2 \times 2 \) записаны положительные числа. Витя и Женя выбрали клетку и заштриховали её серым. Витя посчитал сумму чисел в строке, в которой она находится, а Женя проделал ту же самую операцию для столбца. Потом мальчики перемножили свои суммы и получили результат, в \( 4 \) раза меньший числа в заштрихованной клетке. Оказалось, что это условие справедливо для любой из четырёх клеток. Найдите сумму всех чисел в таблице.
---
По контуру квадрата в одном направлении ползут три жука, скорости которых постоянны и различны. Найдите скорость самого медленного из жуков, если скорости других равны \( 10 \, \text{мм/с} \) и \( 30 \, \text{мм/с} \), а все обгоны происходят только в вершинах квадрата. Ответ выразите в мм/с.
---
9 класс – Вариант 1
Жора решал уравнение \( 11z = b \), где неизвестная переменная \( z \), а \( b \) — некоторое число. Когда он увеличил коэффициент при \( z \) и число в правой части на 1, корень уравнения тоже увеличился на 1. На сколько увеличился бы корень уравнения, если бы Жора вместо этого увеличил коэффициент при \( z \) и число в правой части на 7?
---
Про натуральное число \( A \) известно, что оно делится на 24 и не делится на 36, а про натуральное число \( B \) известно, что оно делится на 30 и не делится на 60. Какие утверждения о числе \( C = A - B \) могут быть верны? Выберите все подходящие варианты:
- [ ] \( C \) делится на 6
- [ ] \( C \) не делится на 12
- [ ] \( C \) делится на 4
- [ ] \( C \) не делится на 35
- [ ] \( C \) не делится на 3
---
У Ивана есть большая корзина с 940 шариками одинакового размера. Как минимум один из шариков красный, остальные — зелёные. Иван вычислил, что вероятность того, что два случайно выбранных шарика окажутся красными, совпадает с вероятностью того, что они будут разного цвета. Сколько красных шариков в корзине?
Периметр трапеции \( ABCD \) (\( AD \parallel BC \)) равен 80, а расстояние между основаниями — 4; длина отрезка \( AB \) указана на рисунке.
\[\begin{array}{c}
\text{А} \\
\text{Б} \\
\text{C} \\
\text{D}
\end{array}\]
Периметры четырёхугольников \( ABEF \) и \( CDFE \) равны; площади этих четырёхугольников также равны.
Найдите длину отрезка \( CD \).
Найдите площадь четырёхугольника \( ABCD \).
---
Про действительные числа \( a \), \( b \) и \( c \) известно, что
\[2 \cdot (2a\sqrt{5} + b\sqrt{15} + c\sqrt{19}) = a^2 + b^2 + c^2 + 54.\]
Найдите значение выражения \( a^2 + b^2 + 2c^2 \).
---
Окружности \( \Omega \) и \( \omega \) пересекаются в точках \( A \) и \( B \), \( O \) — центр окружности \( \omega \). Лучи \( CA \) и \( CB \) пересекают окружность \( \Omega \) в точках \( D \) и \( E \) соответственно. Оказалось, что точка \( O \) лежит на отрезке \( BC \). На рисунке указаны значения углов \( \angle BCA \) и \( \angle BDA \).
Найдите градусную меру угла \( \angle EAB \).
На большой клетчатой плоскости можно размещать прямоугольники размером \( 4 \times 9 \, \text{так} \), что каждый прямоугольник покрывает ровно 36 клеток. Прямоугольники можно размещать как горизонтально, так и вертикально, при этом они могут перекрываться.
Найдите наибольшее целое число \( N \), при котором невозможно покрыть ровно \( N \) клеток таким способом.
---
Исследователи опросили \( N \) человек, чтобы узнать, какие из трёх продуктов по уходу за кожей — \( A, B, C \) — они используют. Результаты опроса:
- 50 человек используют \( B \);
- 61 человек НЕ пользуется \( A \);
- 13 человек НЕ пользуются \( C \);
- 74 человека используют как минимум два из трёх видов \( A, B, C \).
Каждый человек мог выбрать любую комбинацию средств (в том числе не выбрать ни одно).
Найдите минимально возможное значение \( N \).
---
10 класс – Вариант 2
У Жоры есть два правильных многоугольника, причём у большего на 8 сторон больше, чем у меньшего. Внутренние углы этих многоугольников отличаются на 0.5°. Сколько сторон у меньшего многоугольника?
---
В некотором городе погода бывает только двух видов: солнечная или дождливая.
- Если сегодня солнечно, то завтра с вероятностью \( \frac{4}{5} \) снова будет солнечно.
- Если сегодня дождливо, то завтра с вероятностью \( \frac{2}{3} \) будет солнечно.
Сегодня пятница и на улице солнечно. На воскресенье запланирована поездка на природу. Какова вероятность того, что в воскресенье будет солнечно?
---
На склад поступили 11 шаров разного диаметра: 23, 21, 11, 16, 24, 20, 11, 14, 25, 14, 20.
А также 11 кубических коробок, у каждой задана длина ребра: 25, 10, 13, 14, 26, 20, 25, 12, 23, 13, 12.
Упаковщик может положить шар только в такую коробку, длина ребра которой не меньше диаметра шара. Каждый шар можно упаковать только в одну коробку, и в каждую коробку можно положить не более одного шара. Какое наибольшее количество шаров удастся упаковать?
В кулинарной академии 13 поваров, один из которых известен как «Спец по специям».
Эксперт сравнивает одно и то же блюдо, приготовленное любыми двумя кулинарами, и решает, у кого получилось лучше. Ничья невозможна: либо блюдо повара \( A \) вкуснее, чем у повара \( B \), либо наоборот. Выберите все утверждения, которые обязательно верны:
- [ ] Как минимум 12 поваров хотя бы раз проигрывают в сравнении
- [ ] Существует повар, проигравший соперникам хотя бы шесть раз
- [ ] Блюдо «Спеца по специям» эксперт оценивает хуже хотя бы пяти других
- [ ] Для каждого повара найдётся хотя бы один соперник, чьё блюдо оказалось лучше, и хотя бы один соперник, чьё блюдо оказалось хуже
---
Какое наименьшее значение принимает функция \( f(f(f(x))) \), если \( f(x) = x^2 + 14x + 47? \)
---
На чертеже представлена трапеция, у которой указаны длины сторон, а также указано, что некоторые углы — прямые. Точка \( Q \) соединена с серединами всех четырёх сторон трапеции. Четыре образовавшихся четырёхугольника равновелики (то есть имеют одинаковую площадь).
\[\begin{array}{c}
D \\
120 \\
150 \\
130 \\
100 \\
B
\end{array}\]
Найдите расстояние от точки \( Q \) до стороны \( AB \).
Найдите длину отрезка \( AQ \).
У Жоры есть положительная несократимая дробь, числителем которой является натуральное число. Если Жора увеличит и числитель, и знаменатель дроби на некоторое число \( n \), то значение дроби увеличится в \( 6 \) раз, а если уменьшит на \( n \), то увеличится в \( 7 \) раз. Найдите \( n \).
---
У Саши и Юры есть по игральному кубику. Одна грань кубика Саши пустая, а на других написаны числа 10, 3, 12, 15, 1. Одна грань кубика Юры тоже пустая, а на других написаны числа 18, 19, 14, 6, 21. Юра выбирает натуральное число \( N \), записывает его на пустые грани обоих кубиков, а потом мальчики бросают свои кубики. Выигрывает тот, у кого выпадет большее число; при равенстве очков объявляется ничья. Какое значение \( N \) может выбрать Юра, чтобы вероятность его победы была наибольшей? Укажите все подходящие варианты. Каждый ответ записывайте в отдельное поле, добавляя их при необходимости.
---
10 класс – Вариант 1
У Жоры есть два правильных многоугольника, причём у большего на 5 сторон больше, чем у меньшего. Внутренние углы этих многоугольников отличаются на 1°. Сколько сторон у большего многоугольника?
---
В некотором городе погода бывает только двух видов: ветреная или безветренная.
- Если сегодня ветрено, то завтра с вероятностью \(\frac{1}{4}\) снова будет ветрено.
- Если сегодня безветренная погода, то и завтра с вероятностью \(\frac{1}{6}\) будет безветренно.
Сегодня пятница и на улице ветрено. В воскресенье планируют запускать воздушного змея. Какова вероятность того, что в воскресенье будет ветрено?
---
На склад поступили 11 шаров разного диаметра: 12, 23, 12, 18, 27, 10, 12, 16, 27, 19, 16. А также 11 кубических коробок, у каждой задана длина ребра: 11, 26, 28, 15, 11, 13, 17, 14, 19, 28, 13. Упаковщик может положить шар только в такую коробку, длина ребра которой не меньше диаметра шара. Каждый шар можно упаковать только в одну коробку, и в каждую коробку можно положить не более одного шара. Какое наибольшее количество шаров удастся упаковать?
В кулинарной академии 13 поваров, один из которых известен как «Спец по специям».
Эксперт сравнивает одно и то же блюдо, приготовленное любыми двумя кулинарами,
и решает, у кого получилось лучше. Ничья невозможная: либо блюдо повара A вкуснее,
чем у повара B, либо наоборот. Выберите все утверждения, которые обязательно верны:
- [ ] Как минимум 12 поваров хотя бы раз проигрывают в сравнении
- [ ] Существует повар, проигравший соперникам хотя бы шесть раз
- [ ] Блюдо «Спеца по специям» эксперт оценивает хуже хотя бы пяти других
- [ ] Для каждого повара найдётся хотя бы один соперник, чьё блюдо оказалось лучше, и хотя бы один соперник, чьё блюдо оказалось хуже
---
Какое наименьшее значение принимает функция \( f(f(tx)) \), если \( f(x) = x^2 + 12x + 34? \)
---
На чертеже представлена трапеция, у которой указаны длины сторон, а также указано, что некоторые углы — прямые. Точка \( Q \) соединена с серединами всех четырёх сторон трапеции. Четыре образовавшихся четырёхугольника равновелики (то есть имеют одинаковую площадь).
\[\begin{array}{c}
D \\
42 \\
A
\end{array}\]
108
\( Q \)
\( Q \)
\( 0 \times 130 \)
54
\( B \)
ФАТОРИЧЕСКИЙ ОБРАЗ
Найдите расстояние от точки \( Q \) до стороны \( AB \).
Найдите длину отрезка \( AQ \).
У Жора есть положительная несократимая дробь, числителем которой является натуральное число. Если Жора увеличит и числитель, и знаменатель дроби на некоторое число \( n \), то значение дроби увеличится в \( 3 \) раза, а если уменьшит на \( n \), то увеличится в \( 4 \) раза. Найдите \( n \).
---
У Саши и Юры есть по игральному кубику. Одна грань кубика Саши пустая, а на других написаны числа 10, 3, 12, 15, 1. Одна грань кубика Юры тоже пустая, а на других написаны числа 18, 19, 14, 6, 21. Юра выбирает натуральное число \( N \), записывает его на пустые грани обоих кубиков, а потом мальчики бросают свои кубики. Выигрывает тот, у кого выпадет большее число; при равенстве очков объявляется ничья. Какое значение \( N \) может выбрать Юра, чтобы вероятность его победы была наибольшей? Укажите все подходящие варианты. Каждый ответ записывайте в отдельное поле, добавляя их при необходимости.
---
11 класс – Вариант 2
На доске была написана невозрастающая последовательность натуральных чисел
\( a_1 \geq a_2 \geq \cdots \geq a_5 \). Саша написал на листочке другую последовательность: сколько среди
\( a_i \) чисел, больших или равных 1, сколько — больше или равных 2 и далее до тех пор, пока
ему не пришлось бы написать 0. Юра стёр числа с доски. На листочке у Саши остались
числа 5, 3, 2, 1. Какая последовательность была записана на доске?
---
У Жоры есть три одинаковые колоды, в каждой — 6 карточек с числами от 1 до 6. Сначала
он наугад вытаскивает по одной карточке из первых двух колод. Если числа на них
совпадают, он дополнительно вытаскивает наугад карточку из третьей колоды. Какова
вероятность того, что сумма всех вытащенных чисел окажется нечётной?
---
Юра выложил в ряд 2025 монет. Если он уберёт первые две трети монет слева, то как минимум половина из оставшихся окажется лежащей орлом вверх. То же самое происходит, если Юра убирает последние 20 % монет справа — среди оставшихся как минимум половина повёрнута орлом вверх. Какое минимальное количество монет может лежать орлом вверх?
На сторонах \( AC \) и \( BC \), а также на продолжении стороны \( AB \) равностороннего треугольника \( ABC \) отмечены точки \( F \), \( D \) и \( E \) соответственно так, что \( D \) — середина \( EF \). Длины отрезков \( BD \) и \( DC \) приведены на рисунке.
Найдите \( EF^2 \).
---
Коэффициенты многочлена \( P(x) \) — неотрицательные целые числа. Известно, что
\[P(2) = 100,\]
\[P(P(2)) = 201061016.\]
Найдите значение \( P(0) \).
Найдите значение \( P(1) \).
---
Наташа и Петя играют в игру. Вначале Наташа первой называет целое число от 1 до 64. Затем Петя называет своё число — от 1 до 93. После этого Наташа называет число от 1 до 96. Если сумма всех трёх названных чисел делится на 100, побеждает Наташа. Иначе побеждает Петя. Какое число Наташа должна назвать первым, чтобы при любом выборе Пети она могла победить? Укажите все подходящие варианты. Каждый ответ записывайте в отдельное поле, добавляя их при необходимости.
Пусть \( x, y, z \) — такие положительные действительные числа, что выполнены следующие равенства:
- \( x^{log_2(x)} = 2^3 \cdot 3^4 \),
- \( y^{log_2(x)} = 2^4 \cdot 3^8 \),
- \( z^{log_2(y)} = 2^3 \cdot 3^{12} \).
Найдите значение произведения \( xyz \). Укажите все подходящие варианты. Каждый ответ записывайте в отдельное поле, добавляя их при необходимости.
---
11 класс – Вариант 1
На доске была написана невозрастающая последовательность натуральных чисел
\( a_1 \geq a_2 \geq \ldots \geq a_6 \). Саша написал на листочке другую последовательность: сколько среди \( a_i \) чисел, больших или равных 1, сколько — больше или равных 2 и далее до тех пор, пока ему не пришлось бы написать 0. Юра стёр числа с доски. На листочке у Саши остались числа 5, 5, 3, 1. Какая последовательность была записана на доске?
---
У Жоры есть три одинаковые колоды, в каждой — 8 карточек с числами от 1 до 8. Сначала он наугад вытаскивает по одной карточке из первых двух колод. Если числа на них совпадают, он дополнительно вытаскивает наугад карточку из третьей колоды. Какова вероятность того, что сумма всех вытащенных чисел окажется чётной?
---
Юра выложил в ряд 2025 монет. Если он уберёт первую треть монет слева, то как минимум половина из оставшихся окажется лежащей орлом вверх. То же самое происходит, если Юра убирает последние 48 % монет справа — среди оставшихся как минимум половина повёрнута орлом вверх. Какое минимальное количество монет может лежать орлом вверх?
На сторонах \( AC \) и \( BC \), а также на продолжении стороны \( AB \) равностороннего треугольника \( ABC \) отмечены точки \( F \), \( D \) и \( E \) соответственно так, что \( D \) — середина \( EF \). Длины отрезков \( BD \) и \( DC \) приведены на рисунке.
![Diagram]
- \( C \)
- \( F \)
- \( A \)
- \( B \)
- \( D \)
- \( E \)
Найдите \( EF^2 \).
---
Коэффициенты многочлена \( P(x) \) — неотрицательные целые числа. Известно, что
\[P(2) = 100,\]
\[P(P(2)) = 201061016.\]
Найдите значение \( P(0) \).
Найдите значение \( P(1) \).
---
Наташа и Петя играют в игру. Вначале Наташа первой называет целое число от 1 до 64. Затем Петя называет своё число — от 1 до 93. После этого Наташа называет число от 1 до 96. Если сумма всех трёх названных чисел делится на 100, побеждает Наташа. Иначе побеждает Петя. Какое число Наташа должна назвать первым, чтобы при любом выборе Пети она могла победить? Укажите все подходящие варианты. Каждый ответ записывайте в отдельное поле, добавляя их при необходимости.
Пусть \( x, y, z \) — такие положительные действительные числа, что выполнены следующие равенства:
- \( x^{log_2(x)} = 2^3 \cdot 3^4 \),
- \( y^{log_2(x)} = 2^4 \cdot 3^8 \),
- \( z^{log_2(x)} = 2^3 \cdot 3^{12} \).
Найдите значение произведения \( xyz \). Укажите все подходящие варианты. Каждый ответ записывайте в отдельное поле, добавляя их при необходимости.
---
Одинаковые ветряные турбины расположены на одинаковом расстоянии \( d \) друг от друга вдоль прямой линии. Каждая башня турбины представляет собой вертикальный цилиндр радиусом \( 3 \, \text{метра} \). Пусть \( l \) — прямая, проходящая через центры оснований всех башен. Наблюдатель находится в точке \( O \) на той же плоскости, причём проекция \( O \) на \( l \) совпадает с одним из центров турбины, расстояние от точки \( O \) до точки \( l \) на рисунке.
30
0
При разных значениях \( d \) число полностью видимых башен может быть разным. Найдите наибольшее число башен, которые могут быть полностью видны.
Башня \( T \) полностью видна, если отрезки касательных на точки \( O \) до башни \( T' \) не пересекают (по могут касаться) другие башни. Башен очень много в обе стороны от наблюдателя.
